۸ عددی که در ریاضی به آن ها احتیاج دارید (۳ عکس)


با دیگران به اشتراک بگذارید

۸ عددی که در ریاضی به آن ها نیاز دارید

تصویر و عکس شماره ۱ ⇩
تصویر و عکس 8 عددی که در ریاضی به آن ها نیاز دارید
در ریاضیات، ۸ نوع عدد داریم که بیشترین استفاده در محاسبات متداول را دارند و ویژگی‌های هر یک باعث کاربردهای خاص آن‌ها می‌شود.

بی‌نهایت عدد در جهان ریاضی وجود دارد. در کنار آن‌ها، بی نهایت روش برای مخلوط و دستکاری این اعداد فراهم است. ‌ریاضی‌دان‌ها اغلب، اعداد را بر روی محور اعداد نمایش می‌دهند و هر نقطه بر روی این محور، نمایان‌گر یک عدد است.

تقریبا، تمام اعدادی که با آن‌ها سر و کار داریم جزیی از بنیادی‌ترین اعداد موجود در ریاضی هستند. آنچه در ادامه به آن اشاره خواهیم داشت، هشت عددی هستند که مجموعه‌ی کل اعداد را تشکیل می‌دهند و برای محاسبات کمی می‌توانند به کار گرفته بشوند.

عدد صفر

صفر نشان دهنده‌ی نبود وجود است. حین این که صفر یک عنصر لازم از دستگاه اعداد به شمار می‌آید. صفر در واقع مدد می‌کند تا تفاوت نوشتاری اعداد یک رقمی با اعداد چندین رقمی مشخص شود. به همین علت است که ما به آسانی فرق ۲ دلار با ۲۰ دلار را متوجه می‌شویم.

صفر به خودی خود عدد بسیار اهمیتی می داری در ریاضی است. چرا که "هویت افزودنی" دارد و با هر عددی که جمع شود حاصل، خود آن عدد می‌شود. این ویژگی صفر، به آن نوعی مرکزیت در حساب و جبر بخشیده است. از این رو صفر دقیقا در وسط محور اعداد قرار می‌گیرد تا اعداد مثبت و منفی را از هم جدا کند و نقطه‌ی شروعی برای ساخت دستگاه اعداد انتخاب شود.

عدد یک

در حالی که صفر هویت افزودنی دارد، عدد یک در بر می داری هویت مضربی است. به این شکل که حاصل ضرب هر عدد در یک، خود آن عدد است. برای ادامه‌ی محور اعداد نیاز به عدد یک داریم که باقی اعداد را با جمع یک به آن افزاییم. در حالت خاص، می‌توان اعداد طبیعی را مثال زد که از یک شروع می‌شود و به ترتیب ۲ و ۳ و ۴ تا بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کنند. اعداد طبیعی، اساسی‌ترین اعداد ما هستند. به طوری که با بهره گیری از آن‌ها اشیا و اشخاص را شمارش می‌کنیم. حین این که می‌توانیم با آن‌ها حساب و کتاب به انجام رسانیم. اگه یک عدد طبیعی را با یک عدد طبیعی دیگر جمع یا در آن ضرب کنیم، حاصل باز هم یک عدد طبیعی خواهد بود. البته در رابطه با تفریق و تقسیم، گاهی این حالت برقرار است.

منفی یک

همیشه تفریق دو عدد طبیعی برابر با یک عدد طبیعی نیست. از این رو اعداد طبیعی پاسخگوی تمام محاسبات نیستند و برای تفریق واژه ای مثل ۸-۳ جوابی ندارند. یکی از جنبه‌های فوق‌العاده‌ی جهان ریاضی این است که هرگاه با محدودیتی روبرو شویم می‌توانیم با گسترش دستگاه اعداد، آن محدودیت را برطرف بکنیم. از این رو با اضافه کردن عدد ۱- ، اعداد منفی بوجود خواهند آمد.

حین این که با حاصل ضرب ۱- در دامنه‌ی اعداد مثبت، نسخه‌ی منفی آن‌ها تشکیل خواهد شد. علاوه بر این، اعداد منفی محدودیت در تفریق را هم بر طرف می‌کنند. به طوری حاصل ۸-۳ عدد ۵- می‌شود. بنابراین مجموعه‌ای از اعداد مثبت، صفر و منفی خواهیم داشت که امکان تفریق تمام اعداد این کلکسیون را فراهم می‌کنند. اعداد منفی در نمایان کردن کم و کسری مفید هستند. برای مثال وقتی ۵۰۰ دلار به بانک بدهکار باشید، تراز بانکی شما ۵۰۰- دلار است. همچنین این اعداد در گزارش کمیت‌های فیزیکی مانند دمای زیر صفر هم کاربرد دارند.

عدد یک دهم

با وجود اعداد صحیح، باز هم مجموعه‌ی اعداد مورد نیاز ناقص است. درست است که دیگر در جمع و تفریق محدودیتی مشاهده نمی‌شود اما در ضرب و تقسیم آزادی عمل نداریم. برای مثال نمی‌توانیم حاصل دقیق ۵÷۸ را محاسبه کنیم. برای رویارویی با این حالت محور اعداد را به مقادیر ۱/۱۰ یا ۰.۱ تقسیم بندی می‌کنیم. به وسیله‌ی ۰.۱ و توان‌های بالاتر آن مثل ۰.۰۱، ۰.۰۰۱، ۰.۰۰۰۱ وغیره می‌توان کسر اعشاری حاصل را به تصویر کشید.

تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگر (به جز تقسیم بر صفر) به یک عدد ده دهی خاتمه پیدا می‌کند. برای مثال حاصل ۵÷۸ برابر با ۱.۶ است. یا حاصل ۳÷۱ برابر …۰.۳۳۳۳۳۳۳ است که رقم اعشاری ۳ تا بی نهایت ادامه خواهد داشت.

این نوع از اعداد که ارقام اعشاری آن‌ها به مقداری معلوم خاتمه پیدا می‌کند یا الگوی مشخصی دارد، اعداد گویا هستند که نسبت دو عدد صحیح را نشان می‌دهند. در عملیاتی چون جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد گویا با یکدیگر، عدد حاصل هم یک عدد گویا است.

از طرفی اعداد گویا اجازه می‌دهند که مقادیر بین اعداد صحیح یا مقادیر کسری قابل اظهار باشند. به همین خاطر ۴ نفر دوست می‌توانند یک کیک را به چهار قسمت مساوی بین خود تقسیم کنند و سهم هر کدام ۱/۴، ۰.۲۵ یا ۲۵ درصد از کل کیک محاسبه شود. در واقع اعداد گویا مدد می‌کنند تا فضای بین عددهای صحیح در محور اعداد پر شود.

جذر عدد ۲

جذر دوم یک عدد، رقمی است که وقتی در خودش ضرب می‌شود، خود عدد را به عنوان پاسخ ارایه می‌دهد. برای مثال جذر دوم عدد ۹ برابر با ۳ است. چرا که: ۹=۳*۳. می‌توان جذر هر عدد مثبت را در ریاضی پیدا کرد. البته در این میان تعداد کمی استثنا وجود دارد که جذر آن یک عدد گویا به دست نمی‌آید.

جذر عدد ۲ یکی از این استثناها است. جذر ۲ یک عدد گنگ است که در مقدار دسیمال آن هیچ الگوی مشخصی وجود ندارد. حاصل جذر ۲ رقمی به این شکل است: … ۱.۴۱۴۲۱۳۵۶۲۳۷ که ارقام پس از اعشار، عجیب و غریب و تصادفی به نظر می‌رسند.

حتی گاهی جذر گویاترین اعداد، اعداد گنگ است. البته استثناهایی مانند ۹ وجود دارند که مربع کامل نامیده می‌شوند. ریشه‌های مربع در مبحث جبر اهمیت زیادی دارند و راه حل بسیاری از معادلات به حساب می‌آیند. برای مثال جذر عدد ۲ پاسخ معادله‌ی x2 = ۲ است.

با گذاشتن اعداد گویا در کنار اعداد گنگ، محور اعداد ما کامل خواهد شد. به این صورت، به طیف گسترده‌ی مجموعه‌ی این اعداد، اعداد حقیقی نقل کرده می‌شود و این اعداد اغلب در تمام شیوه‌های محاسباتی کاربرد دارند. حالا که محور اعداد ما تکمیل شد، می‌توانیم سراغ بررسی دیگر اعداد گنک برویم.

عدد پی (π)

 

تصویر و عکس شماره ۲ ⇩تصویر و عکس 8 عددی که در ریاضی به آن ها نیاز دارید

عدد π، معادل نسبت محیط دایره به قطر آن است که می‌توان آن را مهم‌ترین عدد در هندسه در نظر گرفت. عدد π در هر فرمولی که شامل سطح دایره‌ای یا کروی باشد حضور دارد. برای مثال مساحت دایره با شعاع r با رابطه‌ی πr2 محاسبه می‌شود و این رابطه برای محاسبه‌ی حجم کره با شعاع r معادل (۴/۳)πr3 لست.

 

حین این که عدد π یکی از اعداد برجسته در توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس هم به حساب می‌آید. در اینجا عدد π نشان می‌دهد که به ازای هر واحد ۲π، تابع دوباره تکرار می‌شود. توابع مثلثاتی با مدد عدد π، نشان دهنده‌ی تناوب و تکرار هستند و در توصیف معادلاتی چون امواج صوتی مصرف کرده می‌شوند. عدد π مانند جذر ۲، گنگ بوده و بسط دسیمال آن نه پایان پیدا می‌کند و نه روند تکرار مشخصی دارد. چندین رقم اول این عدد برای اکثر ما آشنا است: …۳.۱۴۱۵۹

‌ریاضی‌دان‌ها با بهره گیری از کامپیوترهای خیلی بزرگ قادر بودند ۱۰ تریلیون رقم اول اعشار عدد π را یابند. هر چندین که اغلب برای انجام محاسبات، تنها به چندین رقم اول اول اکتفا می‌شود.

عدد اویلر (e)

عدد اویلر، e اساس کار توابع نمایی است. توابع نمایی بیان‌گر فرآیندهایی هستند که در یک دوره‌ی وقتی به یک مقدار چندین برابر یا نصف می‌رسند. برای مثال فرض کنید که دو خرگوش نر و ماده دارید. پس از یک ماه ۴ خرگوش خواهید داشت. پس از دو ماه ۸ خرگوش و پس از سه ماه این تعداد به ۱۶ خرگوش خواهند رسید. به طور کلی تعداد خرگوش‌ها پس از n ماه ۲n 1 عدد است.

e در اینجا یک عدد گنگ است که معادل آن …۲.۷۱۸۲۸ می‌شود و مانند دیگر اعداد گنگ، ارقام پس از اعشار آن از هیچ روند مشخصی پیروی نمی‌کنند. ex یک تابع نمایی طبیعی است که پایه و اساس معادلات نمایی را تشکیل می‌دهد.

تصویر و عکس شماره ۳ ⇩تصویر و عکس 8 عددی که در ریاضی به آن ها نیاز دارید

علت خاص بودن ex کمی پیچیده است. در حساب دیفرانسیل و انتگرال مشاهده کرده‌اید که مشتق ex معادل ex است. به این معنا که برای یک مقدار مشخص x مقدار ex را داریم و ارزش تابع در هر نقطه با نرخ آن در همان نقطه برابری می‌کند. همین ویژگی، ex را در میان توابع، منحصر به فرد ساخته است و باعث شده است تا کاربردهای مفیدی در ریاضیات از خود نمایان کند.

ex در اکثر فرآیندهای نمایی کاربرد دارد. یکی از رایج‌ترین کاربردهای ex محاسبه‌ی بهره‌ی مرکب است. به این ترتیب اگه سرمایه‌ی عمده P، نرخ سود سالانه r باشد ارزش سرمایه گذاری پس از گذشت t سال با این فرمول محاسبه می‌شود: A = P*ert

ریشه‌ی ۱-=i

به موضوع جذر اعداد مثبت اشاره کردیم. اما باید دید در رابطه با جذر اعداد منفی به چه صورت می‌توان عمل کرد. جذر اعداد منفی، در محدوده‌ی اعداد حقیقی تعریف ندارد. همان‌طور که می‌دانیم ضرب دو عدد منفی یک عدد مثبت است. از این رو نمی‌توان انتظار داشت که ریشه دوم یک عدد، رقمی منفی باشد. اما قبلا دیدیم که با گسترش دستگاه اعداد می‌توان محدودیت‌های موجود را از بین برد.

پس برای یافتن ریشه‌ی ۱- چه باید کرد؟

در اینجا یک واحد موهومی به نام i را تعریف می‌کنیم تا جمع، تفریق، ضرب و تقسیم گروه دیگری از اعداد را معنادار سازد. این نوع از اعداد، اعداد مختلط نام گرفتند. اعداد مختلط فوایدی عجیب و کاربردی از خود نشان می‌دهند. از آنجا که می‌توان اعداد حقیقی را بر روی یک محور افقی نمایان کنیم، اعداد مختلط هم بر روی یک صفحه قابل نمایش هستند. از این رو محور عمودی می‌تواند اظهار گر جزو مختلط یک عدد حقیقی باشد.

به گزارش زومیت،هندسه‌ی اعداد مختلط نتایج فوق العاده و خوشگلی به همراه دارند و کاربردهای آن‌ها در الکتریسیته و مهندسی برق قابل مشاهده است.

_____________________

تهیه کننده: بهار ج.

علوم پایه در بخش دانش و فناوری سايت سرزه

بیت انتخابی از دیوان حافظ :

احوال شيخ و قاضی و شرب اليهودشان
««« »»»
کردم سال صبحدم از پير می فروش

۸ عددی که در ریاضی به آن ها احتیاج دارید (۳ عکس)

TT / 120 — TP / 7%

با دیگران به اشتراک بگذارید

[ منبع این خبر سایت سرزه می باشد. ]

در صورتی که در خبر منتشر شده تخلفی مشاهده میکنید و یا نیاز به ارتباط با مسئول سایت جوونی | جدیدترین اخبار روز ایران و دنیا دارید روی این قسمت کلیک کنید.

گزارش تخلف

تمامی مطالب از سایت های مجاز فارسی و ایرانی تهیه و جمع آوری شده است، در صورت وجود هرگونه مشکل از طریق صفحه گزارش تخلف اطلاع دهید.

تبلیغات

جدیدترین اخبار منتشر شده

تبلیغات

دانلود سریال خارجی

دانلود فیلم ایرانی

دانلود فیلم خارجی

دانلود فیلم و سریال